CIENCIA PURA

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el  cero  puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos; dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas: Definición sin el cero: ℕ  = {1, 2, 3 ,4, ...} Definición con el cero: ℕ  = {0, 1, 2, 3, 4, ...} donde la  ℕ  de  natural  se suele escribir en " negrita de pizarra ". Históricamente el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el  siglo XII . Esto no quiere decir que antes no se utilizara el número cero como numeral ya que con la invención del  sistema de numeración Hindi  (en la India) se incluyó el número cero como numeral, con el tiempo, este sistema de numeración también fue usado por los árabes, de este hecho viene que pasara de llamarse sistema de numeración Hindi a denominarse  sistema de numeración arábigo-índico ; con la conquista musulmana de la península ibé

Complejos ℂ Reales ℝ Racionales ℚ Enteros ℤ Naturales ℕ 1:  uno Naturales primos Naturales compuestos 0:  Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa .  Dados tres números enteros  a ,  b  y  c , los productos  ( a  ×  b ) ×  c  y  a  × ( b  ×  c )  son iguales. Propiedad conmutativa .  Dados dos números enteros  a  y  b , los productos  a  ×  b  y  b  ×  a  son iguales. Elemento neutro .  Todos los números enteros  a  quedan inalterados al multiplicarlos por 1:  a  × 1 =  a . Ejemplo. Propiedad asociativa: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 Propiedad conmutativa: (−6) × (+9) = −54 (+9) × (−6) = −54 La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva: Propiedad distributiva .  Dados tres números enteros  a ,  b  y  c , el producto  a  × ( b  +  c )  y la suma de productos  ( a  ×  b ) + ( a  ×  c )  son idénticos. Ejemplo. (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) =

Multiplicación La  multiplicación  de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el  signo  y  valor absoluto  del resultado. En la  multiplicación  (o  división ) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos. Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la  regla de los signos : Regla de los signos (+) × (+)=(+)  Más por más igual a más. (+) × (−)=(−)  Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−)  Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+)  Menos por menos igual a más. Ejemplos.  (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de  números naturales :

Resta La  resta  de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La  resta  de dos números enteros ( minuendo  menos  sustraendo ) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplos (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4 (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa .  Dados tres números enteros  a ,  b  y  c , las sumas  ( a  +  b ) +  c  y  a  + ( b  +  c )  son iguales. Propiedad conmutativa .  Dados dos números enteros  a  y  b , las sumas  a  +  b  y  b  +  a  son iguales. Elemento neutro .  Todos los números enteros  a  quedan inalterados al sumarles 0:  a  + 0 =  a . Ejemplo. Propiedad asociativa: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8 Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales: Elemento opuesto  o simétrico.  Para cada número entero  a , existe otro entero  − a , que sumado al primero resulta en cero:  a  + (− a ) = 0

Los  números enteros  son un  conjunto  numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros  positivos  (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Vamos a tener entonces: Números naturales Ν: 1, 2, 3... Inversos aditivos de los números naturales: -1, -2, -3... El cero: 0 El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra  ℤ  = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo  alemán   Zahlen  («números», pronunciado  [ˈtsaːlən] ). En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos Al igual que los números naturales, los números enteros pueden  sumarse ,  restars

Los números enteros pueden   sumarse ,   restarse ,   multiplicarse   y   dividirse , igual que puede hacerse con los   números naturales . Suma En esta figura, el  valor absoluto  y el  signo  de un número se representan por el tamaño del  círculo  y su color. En la suma de dos números enteros, se determina por separado el  signo  y el  valor absoluto  del resultado. Para  sumar  dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. Ejemplos.  (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+

Los  números enteros  son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra  Z , también escrita en « negrita de pizarra » como  ℤ  : {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}} La recta numérica ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la  recta numérica : Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el  valor absoluto : El  valor absoluto  de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||». Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra  Ejemplos.  |+5| =

Los  números negativos  son necesarios para realizar operaciones como: 3 − 5 = ? Cuando el  minuendo  es más pequeño que el  sustraendo , la  resta  no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas: Ejemplo:  Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre  ganó en total  2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que  perdió en total  2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso:  ganó en total  o  perdió en total , dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que

Historia Los números enteros negativos son el resultado natural de las operaciones  suma  y  resta . Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números positivos y negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. 1 El cero y los números negativos surgen del manejo de oposición o conceptos como el del vació o el de no ser, que son fundamentales para la construcción de la negatividad. (Gallardo y Abraham)